幾何學 01

不知道你是不是也有一種時刻：明明就覺得眼前的東西不太對勁，但就是說不上來是哪個環節出了問題。

在教學現場，我致力於「陷害」孩子進入這樣的狀態之中。



小孩說：「三角形應該要在一個面上。」
「什麼是面？」
小孩到白板前畫了個三角形，說：「有一個老師說，圍起來的就是面。」
我把一條像皮筋斜套在一只筆上，馬上有小孩會意：「這個也圍起來啦，這可不是面。」
另一個小孩指著地板：「地板又沒有被什麼東西圍起來。」但孩子們哪裡會不知道什麼是「面」呢？
「平平的」、「不能凹凸不平」、「可以放東西上去」。
著急地說了好些個性質，孩子們還是覺得「好像有點對，但又不太對勁。」
我問孩子們：「可是你們知道什麼是『面』了吧？」
孩子們點點頭，說：「但是說不清楚。」

這是好事。太多時候，我們要孩子去關注那些語言，而忘記語言必然有其模糊與例外。可是，即便我們說不出「面」是什麼，但我們不會不知道什麼是「面」。我們已經知道「它」的某些樣子，如果我們繼續認真地「看」它、經驗它，我們就會知道它更多的樣子，並且總是遠超越當下語言能夠說明的程度。

我並不是主張分析性的語言與邏輯不重要，分析有助於耙梳想法，而概念的溝通必得建立在語言之上。但在那之前，我們應該先盡可能地累積素樸的直覺，那不但有助於我們走向正確的分析方向，也避免我們在學會一種「說法」之後，以為我們懂了那件事情的全貌。

接著問題來到「什麼是三角形」？


在上圖的「拼圖」活動裡，孩子們自由地找出三個角，試著把它們組合成一個三角形。從一開始隨機地抓取三個對象，到先擺著兩個角再去找第三個角，然後發現在找第三個角的時候，可以先感覺一下自己需要的角，應該要比現在有的要更大些或更小些。我期待孩子們透過這些經驗能夠掌握很多語言無法精確、全面說明的概念，包括「角度的大小」、「共用邊」、「三角形內角角度的相互關係」，以及許多我甚至無法命名或辨認的感覺。

我將孩子們拼出來的角度組合寫在白板上，我們有以下的組合：


在發現它們「湊巧」加起來都是180之前，我請孩子們將三個角度分別旋轉，拼出一個「平角」，也就是180度。就這樣，需要被記憶的「規則」變成一種可以被回想的「視覺經驗」，我希望孩子們在需要三角形的內角和時，可以想起這個畫面。



已經熟練心算加法的孩子，很快就發現上面的角度加起來「真的」都是180度，興奮地喊：「真的耶！」

然後，我請孩子們選四個角去拼成四邊形，試著「證明」四邊形的四個角加起來會是一個什麼樣子。孩子們拼拼湊湊了好一段時間，發現四邊形的四個角和起來可以「繞一圈」！於是，又是一陣驚呼。忙著另外拼幾個四邊形來驗證剛才那個不是「特例」。

我不記得當年我「學會」三角形內角和等於180度、四邊形內角和等於360度時，有沒有興奮得像是發現新大陸。但我珍惜「能帶給孩子滿足天賦好奇的喜悅」的時光，衷心希望這樣的日子能盡可能持續下去。